Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) последовательности
Ключевые слова: пределы функций, лекции, свойство, математический анализ.
Определение. Последовательность (an) называется бесконечно малой, если
Определение. Последовательность (an) называется бесконечно малой, если
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/13163499.png)
т.е. для любого ε>0 найдется номер N=N(ε) такой, что при всех n > N будет |an|<ε. Иначе, в любом интервале (-ε;ε) находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов.
Свойства б.м. последовательностей:
1) Сумма, разность и произведение двух б.м. последовательностей является б.м., т.е. если
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/37253750.png)
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/94186870.png)
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/90653060.png)
2) Произведение ограниченной последовательности на б.м. является б.м., т.е., если существует такое M>0 , что для всех номеров
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/23478985.png)
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/59863460.png)
В частности, если c=const , то
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/64360929.png)
Определение. Последовательность (an) называется расходящейся к плюс бесконечности (или положительной бесконечно большой), если для любого числа A>0 найдется номер N=N(A), такой что при всех n>N выполняется неравенство an>A. Иначе говоря, начиная с номера N+1 все члены последовательности, aN+1, aN+2, ..., лежат в интервале
![](http://allworks.ucoz.net/_bl/1/46009624.png)
а вне его может находиться лишь конечное число (не более N ) членов последовательности. Такая последовательность называется также стремящейся к
, что записывается так:
![](/latex/infty.gif)
![](/latex/lim-n_to_infty-a-n-infty-1-.gif)
Аналогично, определяется
![](/latex/lim-n_to_infty-a-n-infty-2-.gif)
Определение. Последовательность (an) называется бесконечно большой (б.б.), если
![](/latex/lim-n_to_infty-a-n-infty-3-.gif)
Иначе говоря, для любого числа A>0 найдется номер N=N(A) такой, что все члены последовательности с номерами n>N находятся вне отрезка [-A; A], а внутри его лежит лишь конечное число членов последовательности. При этом пишут:
![](/latex/lim-n_to_infty-a-n-infty-4-.gif)
Связь между б.б. и б.м. последовательностями.
Пусть
– б.м., а
– б.б. последовательности, все члены которых отличны от нуля, тогда последовательность
![](/latex/-alpha-n-.gif)
![](/latex/-beta-n-.gif)
![](/latex/left-frac-1-alpha-n-right-.gif)
будет б.б., а последовательность
![](/latex/left-frac-1-beta-n-right-.gif)
Похожие материалы: