Доказать, что последовательность расходится
Ключевые слова: примеры решений задач, пределы функций, математический анализ, предел последовательности.
Пример. Доказать, что последовательность an=(-1)n расходится, т.е. не имеет предела.
Решение. Если n четное число, то an=1 , если n нечетное число, то an=-1. Поэтому в любой окрестности точек 1 и – 1 содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа 1 и – 1 не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела). Из него же следует, что любое число A ≠ 1 и A ≠ 1 также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа ε>0 , фигурирующего в определении, его можно подобрать так, чтобы интервал (A - ε ; A + ε) не содержал бы точек ±1 , а тогда в нем вообще не будет членов последовательности, тем более их бесконечного числа. Итак, последовательность an=(-1)n не имеет предела, но, очевидно, ограничена:
Пример. Доказать, что последовательность an=(-1)n расходится, т.е. не имеет предела.
Решение. Если n четное число, то an=1 , если n нечетное число, то an=-1. Поэтому в любой окрестности точек 1 и – 1 содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа 1 и – 1 не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела). Из него же следует, что любое число A ≠ 1 и A ≠ 1 также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа ε>0 , фигурирующего в определении, его можно подобрать так, чтобы интервал (A - ε ; A + ε) не содержал бы точек ±1 , а тогда в нем вообще не будет членов последовательности, тем более их бесконечного числа. Итак, последовательность an=(-1)n не имеет предела, но, очевидно, ограничена:
где M – любое число, больше 1.
Похожие материалы:
Примеры решений задач
Готовые работы