Категория: Пределы функций Добавил: Admin Дата публикации: 21.08.2014
4879
0

Используя определение предела последовательности

Ключевые слова: пределы функций, примеры решений задач, предел последовательности, математический анализ.

Пример. Используя определение предела последовательности, доказать, что
 
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2-n+2}{n^2+3n-1}=2 .

Решение. Зададим произвольно ε>0 и рассмотрим разность
 
.
Надо подобрать такое натуральное число N , чтобы для всякого натурального n > N выполнялось неравенство 2

 
.

Решая относительно n это неравенство, мы и найдем номер N . Проще, однако, использовать следующее очевидное замечание. Чтобы доказать равенство 
 
,

мы по произвольному ε>0 должны указать номер N такой, что неравенство |an-A|<ε выполняется, как только n>N , но при этом вовсе не обязательно находить наименьшее возможное значение этого номера. Мы можем указать любой номер N , который гарантирует выполнение неравенства |an-A|<ε при n > N . Этот простой и очевидный факт позволяет решить эту задачу проще. Поскольку 7n - 4 < 7n; n2 + 3n - 1 > n2 , то
 
.

Теперь уже легко завершить доказательство. Возьмем произвольное ε> 0 и решим неравенство 7/n<ε. Отсюда n > 7/ε и в качестве искомого номера N возьмем N =[ 7/ε ]. Тогда при n > N выполняется неравенство 7/n<ε, а поскольку
 
,

то при n > N будет выполнятся и неравенство |an-2|<ε . Это по определению означает, что
 
.

Пусть, например, ε> 0,01 . Тогда N=[7/0,01]=700 и все члены последовательности, начиная с номера 701 будут находиться в интервале (2 - 0,01; 2 + 0,01) , т.е. в ε - окрестности точки A (ε = 0,01 , A = 2 ).




avatar