Категория: Пределы функций Добавил: Admin Дата публикации: 21.08.2014
755
0

Предел последовательности

Ключевые слова: пределы функций, примеры решений задач, лекции, математический анализ

Определение 1. Число A называется пределом последовательности  (an), если для любого положительного числа ε можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от ε, что для всех членов последовательности с номерами n > N будет выполнено неравенство |an-A|<ε.
 
Если (an) имеет своим пределом число A , то говорят, что (an) сходится (или стремится) к A и
обозначают это так:
 

Если последовательность (an) не имеет предела, то говорят, что она расходится. Используя свойства модуля, неравенство |an-A|<ε можно записать так: -ε<an-A<ε или A-ε<an<A+ε. Интервал (A-ε; A+ε) называется ε -окрестностью числа A . 

Тогда можно сформулировать понятие предела последовательности следующим образом:

Определение 2. Число A называется пределом последовательности (an), если для каждой ε -окрестности числа A найдется номер члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в этой окрестности. Иначе говоря, для любой сколь угодно малой ε - окрестности числа A вне ее находится лишь конечное число членов последовательности (в частности, вне ее может вообще не быть членов последовательности).
Пример 1.
Пример 2.




avatar