Категория: Исследовать функцию Добавил: Admin Дата публикации: 14.08.2014
8115
0

Найти асимптоты графика

Ключевые слова: производные и дифференциалы, примеры решений задач.

Пример. Найти асимптоты графика

 
y=\frac{2x^2}{x+1}.

Решение. Так как вертикальную асимптоту имеет функция с разрывом 2-го рода в точке x=x0 , то сначала найдем точки разрыва и исследуем поведение функции в их окрестностях. О.Д.З. x≠-1.
 

Значит, x=-1 - точка разрыва, так как функция в этой точке не определена. Найдем предел слева и предел справа функции
 
y=\frac{2x^2}{x+1}

при подходе к точке x=-1. И выясним, разрыв какого рода терпит данная функция в этой точке.
 

Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке x=-1 разрыв 2-го рода, поэтому уравнение вертикальной асимптоты x=-1 . Функция также может иметь или не иметь наклонные асимптоты. Если они есть, то их уравнение y=kx+b, где
 
Подставляем в уравнение асимптоты y=kx+b и получаем уравнение правой асимптоты y=2x-2. Найдем левую асимптоту при x \to -\infty Повторяя все предыдущие действия, как и для x \to +\infty получаем уравнение левой асимптоты y=2x-2.
Ответ: Вертикальная асимптота x=-1. Наклонная асимптота y=2x-2.




avatar